Postulats de Broglie-Bohm

Postulat 1. Description de l’état d’une particule quantique

A tout instant t, l’état de la particule quantique est défini par sa fonction d’onde \Psi(x,t)  appartenant à un espace vectoriel E  (espace de Hilbert*)  et par la position de son centre de gravité X(t). En particulier, à l’instant initial t_0, l’état de la particule quantique est  défini par la donnée simultanée de sa fonction d’onde initiale \Psi(x,t_0)=\Psi_0(x)  et de la position initiale de son centre de gravité X(t_0).

Nous devons ajouter une hypothèse entre la fonction d’onde initiale \Psi_0(x)  et la position initiale X(t_0) du centre de gravité de la particule; cette hypothèse dite « de l’équilibre quantique » (Dürr et al., 1992), s’exprime comme suit : Pour un ensemble de particules préparées de la même façon, c’est-à-dire avec la même  fonction d’onde initiale \Psi_0(x), alors les centres de gravité initiaux X(t_0) des particules sont distribuées selon l’équation suivante:

P[X(t_0)=x]=|\Psi_0(x)|^2=\rho_0(x)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)

c’est-à-dire que la densité de probabilité pour que le centre de gravité de la particule à l’instant initial soit au point x est égale à la norme de la fonction d’onde en ce point x. C’est la règle de Born à l’instant initial.
Avec ce postulat, il n’existe pas de superposition quantique (pas de chat de Schrödinger): une particule est, à chaque instant, à une position déterminée de l’espace et, globalement, dans un et un seul état déterminé. Le problème de la réduction du paquet d’onde est donc sans objet (élimination du postulat 6 de Copenhague).

Postulat 2. Evolution temporelle de l’état d’une particule quantique

L’évolution dans le temps de la fonction d’onde \Psi(x,t), pour une particule unique et sans spin, est régie par l’équation de Schrödinger:

i\hbar\frac{\delta\Psi(x,t)}{\delta t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(x,t)+V(x)\Psi (x,t)\qquad (2)

\Psi(x,t_0)=\Psi_0(x)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)

Pour une particule avec spin, il faut remplacer l’équation de Schrödinger par l’équation de Pauli ou de Dirac.
L’évolution dans le temps de la position X(t) est régie par l’équation:

dX(t)/dt=\frac{\nabla S(x,t)}{m}|_{x=X(t)}\qquad\qquad\qquad\qquad(4)

S(x,t) est la phase (en unité \hbar) de la fonction d’onde lorsqu’on l’écrit sous la forme semi-classique \Psi(x,t)=\sqrt{\rho(x,t)}\exp{\left(i\frac{S(x,t)}{\hbar}\right)}, où \rho(x,t) est la densité de probabilité quantique (\rho(x,t) =|\Psi(x,t)|^2). On vérifie que ces quantités satisfont l’équation de continuité :

\frac{\partial\rho(x,t)}{\partial t}+ div(\rho(x,t)\frac{\nabla S(x,t)}{m})=0\qquad\qquad\qquad(5)

Postulat 3. Description des grandeurs physiques

Toute grandeur physique mesurable A (comme la position, l’énergie ou le spin) est décrite par un opérateur linéaire A agissant dans E ; cet opérateur est appelé une observable.

Postulat 4. Mesure des grandeurs physiques

La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable A correspondante.

                                   ———————————————————————-

Dans l’interprétation de Broglie-Bohm, les deux autres postulats de la mesure de Copenhague ne sont pas nécessaires ( le postulat de l’interprétation probabiliste de Born et le postulat de réduction de la fonction d’onde), le premier pouvant être démontré, le second étant sans objet puisqu’il n’existe pas de superposition quantique.

Montrons comment se déduit l’interprétation probabiliste de Born. La distribution de probabilité (P(x,t)=P[X(x,t)=x]) d’un ensemble de particules qui se déplacent avec le champ de vitesse \frac{\nabla S(x,t)}{m}, vérifie l’équation

\frac{\partial P(x,t)}{\partial t}+ div(P(x,t)\frac{\nabla S(x,t)}{m})=0\qquad\qquad\qquad(6)

Puisque P(x,t_0)=\rho_0 (x), on déduit des équations (1) et (5) que l’on a à tout instant

P[X(t)=x]=|\Psi(x,t)|^2=\rho(x,t)\qquad\qquad\qquad(7)

c’est-à-dire qu’à tout instant, la densité de probabilité pour que la position de la particule soit au point x est égale au carré de la norme de la fonction d’onde en ce point.

Ainsi, avec seulement « l’hypothèse de l’équilibre quantique » (1), on retrouve l’interprétation probabiliste de Born; la théorie de l’onde pilote donne alors les mêmes prévisions statistiques que la mécanique quantique ordinaire pour toutes les expériences dans lesquelles le résultat dépend de la position finale de la particule.
La théorie de l’onde pilote de Broglie-Bohm est donc fondée, dans le cas d’une particule unique et sans spin, uniquement sur les équations (1),(2), (3) et (4) sans autres postulats.

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