Postulats de la double solution

Postulat 1. Description de l’état d’une particule quantique

A tout instant t, l’état de la particule quantique est défini par sa fonction d’onde*  \Psi(x,t) appartenant à un espace vectoriel E (espace de Hilbert*) et par la position X(t) de son centre de gravité. En particulier, à l’instant initial t_0, l’état de la particule quantique est  défini par la donnée simultanée de sa fonction d’onde initiale \Psi(x,t_0)=\Psi_0(x)  et de la position initiale X(t_0) de son centre de gravité.

Nous devons ajouter une hypothèse entre la fonction d’onde initiale \Psi_0(x) et la position initiale X(t_0) du centre de gravité de la particule. Nous considérons deux cas correspondant à des préparations différentes de la particule.

     Le premier cas correspond à une particule quantique qui fait partie d’un ensemble de particules préparées de la même façon, c’est-à-dire ayant la même fonction d’onde initiale \Psi_0(x).  On fait l’hypothèse de l’interprétation de Broglie-Bohm: les centres de gravité initiaux X(t_0) des particules sont distribuées selon l’équation « de l’équilibre quantique »:

P[X(t_0)=x]=|\Psi_0(x)|^2=\rho_0(x)\qquad\qquad\qquad\qquad(1)

c’est-à-dire que la densité de probabilité pour que le centre de gravité de la particule à l’instant initial soit au point x est égale à la norme de la fonction d’onde en ce point x. C’est la règle de Born à l’instant initial. De telles particules seront appelées indiscernées.
      Le second cas correspond à une particule quantique unique de fonction d’onde initiale \Psi_0(x). On fait l’hypothèse de l’interprétation de Schrödinger: la position initiale de son centre de gravité est le centre de gravité de la fonction d’onde:

X(0)=\int x|\Psi_0(x)|^2dx=\int x\rho_0(x)dx\qquad\qquad\qquad(2).

Une telle particule sera appelée discernée. C’est en particulier le cas des états cohérents.
Avec ce postulat, il n’existe pas de superposition quantique (pas de chat de Schrödinger): le centre de gravité de la particule est, à chaque instant, à une position déterminée de l’espace et, globalement, dans un et un seul état déterminé. Le problème de la réduction du paquet d’onde est donc sans objet  (élimination du postulat 6 de Copenhague).
Le choix entre le cas discerné et le cas indiscerné est précisé au postulat 2.

Postulat 2. Évolution temporelle de l’état d’une particule quantique

L’évolution dans le temps de la fonction d’onde \Psi(x,t), pour une particule unique et sans spin, est régie par l’équation de Schrödinger:

i\hbar\frac{\delta\Psi(x,t)}{\delta t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(x,t)+V(x)\Psi (x,t)\qquad (3)

\Psi(x,t_0)=\Psi_0(x)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4)

Pour une particule avec spin, il faut remplacer l’équation de Schrödinger par l’équation de Pauli ou l’équation de Dirac.
Une particule sera discernée si la densité quantique \rho(x,t)=|\Psi(x,t)|^2 ne s’étale pas avec le temps, indiscernée sinon.
Pour les particules indiscernées, l’évolution dans le temps de la position X(t) est régie comme dans l’interprétation de Broglie-Bohm par l’équation

dX(t)/dt=\frac{\nabla S(x,t)}{m}|_{x=X(t)}\qquad\qquad\qquad(5)

S(x,t) est la phase (en unité \hbar) de la fonction d’onde lorsqu’on l’écrit sous la forme semi-classique
$latex \Psi(x,t)=\sqrt{\rho(x,t)}e^{i\frac{S(x,t)}{\hbar}}$, \rho(x,t) étant la densité de probabilité quantique (\rho(x,t)= |\Psi(x,t)|^2 ). On vérifie que ces quantités satisfont l’équation de continuité :

 \frac{\partial\rho(x,t)}{\partial t}+ div(\rho(x,t)\frac{\nabla S(x,t)}{m})=0\qquad\qquad\qquad(6)

Pour les particules discernées, l’évolution dans le temps de la position X(t) de son centre de gravité est régie par l’équation

X(t)=\int x|\Psi(x,t)|^2dx=\int x\rho(x,t)dx\qquad\qquad(7)

et vérifie le théorème d’Ehrenfest.

Postulat 3. Description des grandeurs physiques

Toute grandeur physique mesurable A (comme la position, l’énergie ou le spin) est décrite par un opérateur linéaire A agissant dans E ; cet opérateur est appelé une observable.

Postulat 4. Mesure des grandeurs physiques

La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable A correspondante.

———————————————–

      Dans l’interprétation de la double préparation, les deux autres postulats de l’interprétation de Copenhague ne sont pas nécessaires ( le postulat de l’interprétation probabiliste de Born et le postulat de réduction de la fonction d’onde), le premier pouvant être démontré pour les particules indiscernées, le second étant sans objet puisqu’il n’existe pas de superposition quantique.
Montrons comment se déduit l’interprétation probabiliste de Born pour les particules indiscernées. La distribution de probabilité (P(x,t)=P[X(x,t)=x]) d’un ensemble de particules qui se déplacent avec le champ de vitesse \frac{\nabla S(x,t)}{m}, vérifie l’équation

\frac{\partial P(x,t)}{\partial t}+ div(P(x,t)\frac{\nabla S(x,t)}{m})=0\qquad\qquad\qquad(8)

Puisque P(x,t_0)=\rho_0 (x), on déduit des équations (1) et (6) que l’on a à tout instant

P[X(t)=x]=|\Psi(x,t)|^2=\rho(x,t)\qquad\qquad\qquad(9)

c’est-à-dire qu’à tout instant, la densité de probabilité pour que la position de la particule indiscernée soit au point x est égale au carré de la norme de la fonction d’onde en ce point.

La théorie de la double préparation donne donne donc pour les particules indiscernées les mêmes prévisions statistiques que les interprétations de Copenhague et de Broglie-Bohm.

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